不等式证明

Wed, 25 Feb 2026 21:44:13 +0800

题目描述

已知： $a > 0, b > 0$ 且 $a + b = 2$。

求证： $\sqrt{a+1} + \sqrt{b+1} \le 2\sqrt{2}$。

要证：$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1} \le 2\sqrt{2}$

即证：$(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1})^2 \le (2\sqrt{2})^2$

化简可得：$a+1+2\sqrt{(a+1)(b+1)}+b+1 \le 8$

整理可得：$a+b+2+2\sqrt{ab+a+b+1} \le 8$

代入$a+b=2$可得：$4+2\sqrt{ab+3} \le 8$

即$\sqrt{ab+3} \le 2$

两边平方可得：$ab \le 1$

代入$a+b=2$可得：$a(2-a) \le 1$

由于$a>0$且$b=2-a>0$，故$0<a<2$

由二次函数单调性可知当$a=1$时$a(2-a)$最大值为1

即$a(2-a) \le 1$成立，原不等式得证

根据柯西不等式：$(x_1y_1 + x_2y_2)^2 \le (x_1^2 + x_2^2)(y_1^2 + y_2^2)$

令 $x_1 = \sqrt{a+1}, x_2 = \sqrt{b+1}$, $y_1 = 1, y_2 = 1$。