不等式证明
题目描述 已知： $a > 0, b > 0$ 且 $a + b = 2$。 求证： $\sqrt{a+1} + \sqrt{b+1} \le 2\sqrt{2}$。 证明过程 方法一：利用最基础的代数运算性质 要证：$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1} \le 2\sqrt{2}$ 即证：$(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1})^2 \le (2\sqrt{2})^2$ 化简可得：$a+1+2\sqrt{(a+1)(b+1)}+b+1 \le 8$ 整理可得：$a+b+2+2\sqrt{ab+a+b+1} \le 8$ 代入$a+b=2$可得：$4+2\sqrt{ab+3} \le 8$ 即$\sqrt{ab+3} \le 2$ 两边平方可得：$ab \le 1$ 代入$a+b=2$可得：$a(2-a) \le 1$ 由于$a>0$且$b=2-a>0$，故$0<a<2$ 由二次函数单调性可知当$a=1$时$a(2-a)$最大值为1 即$a(2-a) \le 1$成立，原不等式得证 方法二：利用柯西不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality) 根据柯西不等式：$(x_1y_1 + x_2y_2)^2 \le (x_1^2 + x_2^2)(y_1^2 + y_2^2)$ 令 $x_1 = \sqrt{a+1}, x_2 = \sqrt{b+1}$, $y_1 = 1, y_2 = 1$。 ...